手を動かしてまなぶ微分積分 藤岡 敦

数字で見る 手を動かしてまなぶ微分積分

節の数

24節

1変数の微積が§1〜§12、多変数の微積が§13〜§24

例題

53題

節末問題は117問。巻末に全問の詳しい解答（p.265〜）

出題を確かめた大学・学部

45件

本書の16テーマが2023・2024年の数学で出ていた大学・学部

最も多く出たテーマ

18件

「2変数関数の極値」が出た大学・学部の数（本書は17・3（p.184））

節・例題・節末問題の数とページは本書（第4版・2025年5月の刷）の目次と巻頭のチェックリストで確認。出題は2023・2024年の編入試験の数学を大学・学部ごとにテーマで分けて数えた。

手を動かしてまなぶ微分積分はどんな本か

書名

手を動かしてまなぶ微分積分（「手を動かしてまなぶ」シリーズ）

著者

藤岡敦（関西大学 システム理工学部 教授。専門は微分幾何学。同じシリーズに線形代数・ε-δ論法などの本がある）

出版社・版

裳華房。2019年8月に第1版、2024年2月に第4版。この記事のページは第4版（2025年5月の刷）で確かめた

扱う範囲

第1〜3章（§1〜§12）が1変数の極限・微分・積分、第4〜6章（§13〜§24）が多変数の極限・微分・積分

1節の組み立て

節の初めの「ポイント」→ 本文（定義・定理・例）→ 例題 → 節末問題（確認問題・基本問題・チャレンジ問題）

巻末

問題の詳細解答 p.265〜／参考文献 p.292／索引 p.293

序文によると、本書は理工系の学科で初めて微分積分を学ぶ大学1年生を主な読者に想定した、教科書と自習書を兼ねた本です。数学の本では途中の式や理由が省かれがちで、読む側がそれを補う「行間を埋める」作業が必要になる、というのが書名の考え方です。

そのために、自分で手を動かしてほしい箇所にペンの記号を付け、省略されがちな式変形の理由には顔の記号で説明を添えています。本文のペンの記号の箇所は、どう埋めるかを出版社のサイトの別冊で公開している、と序文に書かれています。独学で教科書の「なぜそうなるのか」に引っかかる人には、この作りが助けになります。

もう1つの特徴は、巻頭のチェックリストです。例題と節末問題の番号とページが一覧になり、1回目・2回目・3回目の欄が付いています（p.vii〜viii）。周回のたびに解けた問題に印を付けていけば、次の周で解き直す問題がすぐ分かります。各章の終わりには「まとめ」もあり、公式と定理を短く見直せます。

一方で、序文は「数学系の学科で必須とされる極限の厳密な議論は行わない」とはっきり書いています。逆に、理工系で早くから使うべき級数（§8）と線積分（§24）は丁寧に扱う方針です。編入で言えば、計算と定理の使い方を固める本で、ε-δ論法の証明を書かせる大学への対策本ではありません。

1. 第2章 1変数関数の微分例題11・節末問題26・5節（p.34〜）37題
2. 第6章 多変数関数の積分例題12・節末問題25・5節（p.212〜）37題
3. 第3章 1変数関数の積分例題10・節末問題22・4節（p.94〜）32題
4. 第5章 多変数関数の微分例題8・節末問題22・5節（p.158〜）30題
5. 第1章 1変数関数の極限例題7・節末問題14・3節（p.1〜）21題
6. 第4章 多変数関数の極限例題5・節末問題8・2節（p.138〜）13題

本書（第4版）の巻頭チェックリスト（p.vii〜viii）から数えた。本文中の「例」は含まない。

例題と節末問題がいちばん多いのは第2章・第6章（各37題）で、多変数の微分を扱う第5章も30題あります。編入でよく出る偏微分・2変数の極値・ラグランジュの未定乗数法は第5章に集まっていて、1節あたりの演習は少なめでも、例題で解き方の筋道を一通り確かめられます。

手を動かしてまなぶ微分積分が向く人・先に別の本を使う人

「先に別の本を」の行に当てはまっても、本書が不要になるわけではありません。数Ⅲが怪しい人は数学3・C基礎問題精講で計算を戻してから、試験が近い人は編入数学徹底研究を軸にして、分からない定理が出たときに本書の該当の節だけを読む使い方ができます。

手を動かしてまなぶ微分積分を使うかどうかを8つの問いで決める

1. §4・§5

逆正弦関数 sin⁻¹x の導関数を、逆関数の微分法から導ける

2. §6

0/0 の形の極限で、ロピタルの定理を使える条件を言える

3. §7

eˣ・sin x・log(1+x) の有限マクローリン展開を書ける

4. §12

広義積分が収束するかどうかを、被積分関数の大きさで判断できる

5. §16

合成関数の偏微分（連鎖律）を、変数の対応を書いて計算できる

6. §17

2変数関数の極値を、2階偏導関数を使って判定できる

7. §19

条件付きの最大・最小を、ラグランジュの未定乗数法で求められる

8. §21

極座標変換のヤコビアンが r になる理由を説明できる

答えられなかった問いの節が、本書で最初に読むところです。8問とも答えられるなら、本書を通読する必要はありません。編入向けの問題集と過去問へ進み、つまずいたテーマだけ本書の索引（p.293〜）から引く辞書として使えば十分です。

逆に、半分以上答えられないなら、問題集から始めると解き方の丸暗記になりやすい段階です。本書の第1章から順に、例題を自分で計算しながら読み進めてください。

手を動かしてまなぶ微分積分の全24節の地図と優先度

表は横にスクロールできます

「例題・問題」は巻頭チェックリストの例題の数と節末問題の数。「優先」は、次の節で数えたテーマの出題件数と、志望校の系統での使われ方からオンライン編入学院が付けた目安です。

6つの章の読みどころ

第1章 1変数関数の極限

数列と関数の極限、連続性。はさみうちの原理や中間値の定理を確かめる章。証明問題が出ない大学なら軽く読んでよい

第2章 1変数関数の微分

導関数、平均値の定理、逆三角関数、ロピタルの定理、テイラーの定理、べき級数。編入の小問で最も多く使う道具がそろう

第3章 1変数関数の積分

定積分と不定積分、有理関数の積分、曲線の長さ、広義積分とガンマ関数・ベータ関数。計算問題の中心

第4章 多変数関数の極限

2変数の極限と連続性。極座標で (0,0) への近づき方を調べる方法（p.142〜143）は、極限の小問で役に立つ

第5章 多変数関数の微分

偏微分、全微分と連鎖律、接平面、2変数の極値、陰関数定理、ラグランジュの未定乗数法。本書でいちばん演習が多い章

第6章 多変数関数の積分

重積分、変数変換公式（極座標・ヤコビアン）、曲面の面積、ガンマとベータの関係、線積分とグリーンの定理

ページの配分を見ると、1変数（p.1〜137）と多変数（p.138〜264）がほぼ半分ずつです。高校で数Ⅲを学んだ人は、第1〜3章を例題だけ解いて確かめ、時間の多くを第5・6章に回すと、編入の出題に合った配分になります。

編入の過去問に出たテーマと手を動かしてまなぶ微分積分の場所

1. 2変数関数の極値本書 17・3（p.184）18件
2. 広義積分（ガンマ関数を含む）本書 §12（p.126・p.129）18件
3. テイラー・マクローリン展開本書 7・2（p.71）14件
4. 極座標を使う重積分本書 例21.4（p.224）12件
5. 陰関数の微分本書 §18（p.189）10件
6. 逆三角関数本書 5・6（p.53）9件
7. 条件付き極値（ラグランジュ）本書 §19（p.200）8件
8. 接平面・全微分本書 17・2（p.182）8件
9. 導関数の計算（合成関数など）本書 §4（p.34）8件
10. 合成関数の偏微分（連鎖律）本書 §16（p.169〜）4件
11. ロピタルの定理本書 6・1（p.58）4件
12. ヤコビアンによる変数変換本書 §21（p.222）2件
13. 曲面の面積本書 §22（p.233）2件
14. 級数の収束判定本書 §8（p.80）2件
15. 曲線の長さ本書 §11（p.117）2件
16. 線積分・グリーンの定理本書 24・4（p.258）2件

2023・2024年の編入試験の数学を、大学・学部ごとにテーマで分けて数えた。医学部医学科、物理など数学以外の科目の設問は除いた。別のテーマの中に組み込まれた形で出た設問は数えていないことがある。2025年以降の試験は、直近の試験の内容を載せない方針のため数えていない。

表は横にスクロールできます

「まず開く場所」は、そのテーマの定義や解き方の中心が書かれた項・例題で、本書（第4版）の本文と目次で確かめたページです。件数は大学・学部の数で、設問の数ではありません。同じ大学・学部で2023年と2024年の両方に出ても1件と数えています。

テーマごとの件数を足すと、1変数の節（§1〜§12）のテーマが57件、多変数の節（§13〜§24）のテーマが66件でした。高校の延長で解ける1変数の計算も多く出ますが、編入で差がつきやすいのは、大学で初めて習う多変数の側です。

上位のテーマを本書で練習するときの要点

2変数関数の極値（§17）

17・3（p.184）で、停留点を求めてから2階偏導関数で判定する流れを例題で通す。判定できない場合の扱いまで読む

広義積分（§12）

収束の判定と値の計算を分けて考える。ガンマ関数（p.129）とベータ関数は、置換で形を合わせる練習に使える

テイラー・マクローリン展開（§7・§8）

有限マクローリン展開（p.71〜）で、展開を使った極限の計算と近似値の問題に備える。べき級数の収束半径は§8

極座標を使う重積分（§21）

例21.4（p.224）の極座標変換と、ガウス積分の例21.5（p.228）が、編入の重積分の典型にそのままつながる

陰関数の微分（§18）

方程式 f(x,y)=0 から dy/dx を求める形。接線の傾きや、陰関数の極値を問う小問で使う

手を動かしてまなぶ微分積分の外で出る分野

微分方程式

本書には章が無い（本文に用語も出てこない）。2024年の数学で、変数分離形・1階線形・2階線形の解を求める設問が18以上の大学・学部にあった

線形代数

行列式・固有値・対角化は、同じシリーズの手を動かしてまなぶ線形代数で扱う

ベクトル解析

線積分とグリーンの定理（§24）までは本書にある。発散・回転・ガウスの定理などは別の本で

複素関数・ラプラス変換

工学部の一部で出る。本書の範囲外なので、志望校の過去問で必要かを確かめてから別の本を足す

ε-δ論法の証明

本書は厳密な議論を省く方針。数学科は同じシリーズのε-δ論法の本や、数学科向けの教科書で補う

微分方程式が出た大学・学部には、大阪大学 工学部、埼玉大学 工学部、北海道大学 工学部、広島大学 工学部、東京都立大学 システムデザイン学部、横浜国立大学 理工学部などがあります。工学部を受ける人は、本書と並行して微分方程式の本を1冊用意してください。

すぐわかる微分方程式や常微分方程式キャンパス・ゼミが候補です。

微分方程式の件数は、2024年の数学の設問を「微分方程式」で探して見つかった大学・学部の数です。物理の設問や、表示された範囲の外にあるものは数えていないため、実際はこれより多い可能性があります。

志望校の系統ごとに手を動かしてまなぶ微分積分が効く節

系統へ移動：工学部・理工学部・システム系理学部・理工学域情報学部・情報理工学域・情報科学部経済学部

表は、本書のテーマが2023・2024年の数学で出た大学・学部を、学部の系統で4つに分けたものです。「重なり」は、本書のテーマがいくつ見つかったかです。「テーマ」を開くと、何が出たかと本書の開く場所が分かります。

工学部・理工学部・システム系（34件）

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工学系でいちばん多くのテーマが重なったのは東京理科大学 工学部です。工学系では2変数の極値（§17）と広義積分（§12）がいちばん多く、テイラー展開と極座標を使う重積分（§21）が続きます。導関数の計算や逆三角関数のような基本の小問も並びます。

多くの大学で微分方程式も同じ年に出ているので、本書と微分方程式の本を同じ時期に回す計画を立ててください。

理学部・理工学域（6件）

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理学系ではお茶の水女子大学 理学部などで、広義積分（§12）、級数の収束判定（§8）、曲面の面積（§22）のように、1変数の理論寄りのテーマや出る大学が少ないテーマも見つかりました。数学科では証明を書かせる問題もあるため、本書で計算を固めたあと、厳密な議論を別の本で補う二段構えが合います。

情報学部・情報理工学域・情報科学部（3件）

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情報系では電気通信大学 情報理工学域などで、2変数の極値と陰関数の微分、ラグランジュの未定乗数法、極座標の重積分が見つかりました。情報系の数学は線形代数の比重も大きいため、本書は微積の側だけを受け持つと考え、線形代数の本と半分ずつ時間を分けるのが現実的です。

経済学部（2件）

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経済学部では、2変数の極値、ラグランジュの未定乗数法、陰関数の微分、テイラー展開、ロピタルの定理が見つかりました。効用の最大化や費用の最小化を数式で扱うため、§17〜§19の多変数の微分がそのまま得点に結びつきます。重積分（§20〜§24）は後回しにできます。

系統は学部名で分けました（経済学部→経済、学部名に「情報」を含む→情報、理学部・理工学域→理学、それ以外→工学）。同じ大学でも学科やコースで試験が違うことがあるため、志望する学科の過去問で必ず確かめてください。

志望校の過去問から読む節を決める手順

1. 論点を書き出す

志望校の数学の過去問1〜2年分について、小問ごとに「何の計算・何の定理か」を一言で書く。解かなくてよい

2. 目次と照らす

本書の目次（全24節）と、上のテーマの表に当てはめ、節の番号を付ける。当てはまらないものは「本書の外」に分ける

3. 割合を見る

節の番号が付いた小問が半分を超えるなら本書を軸に。少ないなら本書は弱い節だけにして、微分方程式や線形代数の本に時間を回す

4. 印を付けて始める

番号が付いた節から読み始め、巻頭のチェックリストのその節の例題・問題に印を付けておく

手を動かしてまなぶ微分積分の前後に使う参考書のルート

表は横にスクロールできます

ルートは、合格者の勉強の順番と、理系の参考書ルートの記事（理系の編入試験の参考書ルート）で本書を「教科書の段」に置いていることをもとに、オンライン編入学院がまとめたものです。

本書は問題集ではないため、本書だけで編入の問題の型に慣れることはできません。本書で定義と計算の筋道を作り、編入数学徹底研究で「編入ではこう聞かれる」という形に慣れ、最後に志望校の過去問で仕上げる順が基本です。

演習の量を増やしたい人は、演習微分積分キャンパス・ゼミを本書のあとに挟む方法もあります。同じ大学1年の範囲を、問題を解く側から復習できます。

手を動かしてまなぶ微分積分を使った合格者の使い方

合格した大学

駒澤大学 経済学部 経済学科（2026年度入学）

本書の前

経済学で出る数学で経済数学の土台を作る

本書を置いた時期

8月（試験の約3か月前）。手を動かしてまなぶ線形代数と組み合わせて

目標

神戸大学 経済学部も受けるなら、行列の計算とラグランジュの未定乗数法までを身につける

そのあと

神戸大学の数学の過去問へ進む

この合格者は、経済学部の数学を「経済学で出る数学」で一通り学んだうえで、神戸大学 経済学部も受ける場合だけ本書へ進む、という順番を組んでいました。神戸大学 経済学部の数学では、2変数の極値、ラグランジュの未定乗数法、陰関数の微分などが出ており（上の表）、本書の§17〜§19がそのまま当てはまります。

本書を全部読むのではなく、行列の計算とラグランジュの未定乗数法という「到達点」を先に決めていた点が参考になります。経済学部の受験生が本書を使うなら、§4〜§7と§15〜§19に絞れば、重積分の章に時間を取られません。神戸大学 経済学部の編入試験対策もあわせて読んでください。

同じシリーズで数学科の深さまで進んだ例

この参考書でε-δや、関数の極限、一様収束などしっかりと学べる。

なぎまるさんは、編入数学徹底研究と編入数学過去問特訓をそれぞれ3周したあと、同じシリーズの『手を動かしてまなぶ ε-δ論法』を2周して、数学科寄りの厳密な議論まで進んでいます。本書が省いている極限の厳密な扱いを、同じ書き方の別の本で補った例です。

数学科を受ける人は微分積分なら一様収束、線形代数なら全射・単射まではマストである。

数学科や数学寄りの学科を受ける人は、本書で計算と定理の使い方を固めたあと、同じシリーズのε-δ論法の本へ進むと、記号や書き方を変えずに一段深い内容へ移れます。ほかの合格者の参考書の使い方は合格体験記の一覧で読めます。

手を動かしてまなぶ微分積分の3周の進め方と日数の目安

1周目（理解）

節の初めの「ポイント」を読み、例題は解答を隠して自分で計算してから読む。ペンの記号の箇所は自分で式を埋める。節末の確認問題まで解く

2周目（定着）

例題を何も見ずに解き直し、基本問題まで進む。間違えた問題は巻末の詳細解答で、どの定理を使ったかまで確かめる

3周目（仕上げ）

チェックリストで印が残った問題だけ。志望校で出るテーマの節は、チャレンジ問題にも手を付ける

1周目から全部の節末問題を解こうとすると、多変数に入る前に時間切れになりがちです。1周目は「例題が自分で再現できる」ことを目標にし、節末問題は確認問題までに絞ってください。

1日の進め方と日数の目安

表は横にスクロールできます

日数は節の数から計算した目安で、1節にかかる時間は人によって大きく違います。例題が自分で解けない節は、2日に分けて構いません。

時期は、編入向けの問題集に入る前か、並行して始めるのが合います。試験の半年以上前に1周目を終えておけば、2周目を問題集と並べて回す余裕ができます。経済学部の合格者のように、試験の約3か月前に必要な節だけを足す使い方もあります。

周回のあいだは、チェックリストの欄に「自力で解けた」「解答を見て分かった」「分からない」を記号で書き分けておくと、次の周で解く問題がすぐ決まります。章ごとに印の数を数えると弱い分野が見えるので、問題集でどこに時間をかけるかを決める材料にもなります。

注意点：手を動かしてまなぶ微分積分で足りないところ

微分方程式

章が無い。工学部の多くで同じ年に出ているので、別の本を必ず用意する

演習量

例題53題・節末問題117問。教科書としては十分だが、編入の計算速度を上げるには問題集を足す

編入の形式

大問の誘導に沿って解く形の問題は少ない。誘導付きの問題は編入向けの演習書と過去問で慣れる

厳密な証明

極限の厳密な議論は省かれている。数学科の証明問題には別の本が要る

解答の読み方

詳細解答は丁寧だが、式が長い。どの定理を使ったかに印を付けながら読むと、自分で再現しやすい

本書の役割は、編入の数学で使う微分積分の「理解の土台」を作ることです。本書で解けるようになった問題が、編入の形で聞かれても解けるかは、問題集と過去問でしか確かめられません。2周目からは必ず並べて使ってください。

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オンライン編入学院の合格実績

大学ごとの合格者は合格者速報で確かめられます。数学は、志望校の過去問の論点を本書のような教科書・編入向けの演習書・過去問に振り分け、どの本のどの節から手を付けるかを一緒に決めています。

よくある質問

手を動かしてまなぶ微分積分だけで編入試験の数学は足りますか？

足りません。本書は微分積分の教科書で、微分方程式と線形代数は扱っていません。演習量も教科書の範囲です。本書で定義と計算の筋道を作り、編入向けの問題集と志望校の過去問で仕上げてください。線形代数は同じシリーズの本で並べると書き方がそろいます。

何周すればいいですか？

3周が目安です。1周目は例題を自分で計算、2周目は例題と基本問題を解き直し、3周目は巻頭のチェックリストで印が残った問題だけ。1変数を授業で十分学んだ人は、多変数（§13〜§24）だけを3周しても構いません。

編入数学徹底研究とどちらを先にやればいいですか？

大学の微積の定理があいまいなら本書を先に、または同時に始めます。授業で一通り理解できているなら編入数学徹底研究から入り、解説の途中で分からない定理が出たときに本書の該当の節を読む使い方で十分です。

定理の証明はすべて理解しないと先へ進めませんか？

最初の周では、定理が何を言っているかとどう使うかを押さえれば十分で、証明は筋道を眺める程度で進めて構いません。数学科など証明を書かせる大学を受ける人は、2周目以降に証明を読み、さらに厳密な議論は同じシリーズのε-δ論法の本などで補ってください。

経済学部の編入でも使えますか？

使えます。経済学部の数学では2変数の極値、ラグランジュの未定乗数法、陰関数の微分がよく出るため、§15〜§19が中心です。経済学部の合格者には、経済学で出る数学のあとに、神戸大学 経済学部を受ける場合だけ本書を足した人もいます。重積分の章は後回しにできます。

新微分積分など、高専で使う教科書との違いは何ですか？

高専の教科書は例と問題で計算に慣れる作りで、本書は大学1年向けに定理の意味と証明の筋道にも触れながら進みます。高専の教科書で計算はできるが「なぜその公式が使えるのか」を説明できない人に、本書が合います。

解答を読んでも分からないときはどうすればいいですか？

巻末の詳細解答（p.265〜）は、どの定理・式を使ったかを示しながら進みます。その番号の定理や例題に戻って読み直してください。本文のペンの記号の箇所は、出版社のサイトで別冊の解説が公開されています。それでも分からなければ、学校の先生や予備校のコーチに質問しましょう。

どの版を買えばいいですか？

この記事のページ番号は第4版（2025年5月の刷）で確かめました。古い版を持っている場合、ページや例題の番号がずれることがあります。節の名前（例：§21 変数変換公式）で目次から探すと確実です。

試験まで3か月ほどしかありません。本書から始めるべきですか？

全24節を通す時間はないので、志望校の過去問1年分の論点を先に書き出し、本書の節に当てはまるものだけを読みます。例題を解いてみて手が止まる節だけ本文に戻り、残りの時間は編入向けの問題集と過去問に回してください。