編入数学入門 講義と演習 桜井 基晴

数字で見る 編入数学入門

章の数

22章

数列から統計まで高校範囲（旧課程の行列を含む）。本文は p.2〜204

総合演習

5回

分野のまとまりごとに入る力試し。解答は p.254 から

出題を確かめた大学・学部

27件

本書の10テーマが2023・2024年の数学で出ていた大学・学部

徹底研究と併用

2/2人

本書を使ったと合格体験記に書いた合格者のうち、編入数学徹底研究も使っていた人

章・ページは本書（2021年金子書房版）の目次と本文で確認。出題は2023・2024年の編入試験の数学を大学・学部ごとにテーマで分けて数えた。合格者は公開中の合格体験記から。

編入数学入門はどんな本か

書名

編入数学入門 講義と演習（大学編入試験対策）

著者

桜井基晴（『編入数学徹底研究』『編入数学過去問特訓』と同じ著者）

出版社

金子書房（2013年に聖文新社から出た本を、2021年に金子書房が復刊）

扱う範囲

高校数学（旧課程の行列・1次変換を含む）。分野は解析・関数、代数・幾何、確率・統計の3つ

1章の組み立て

要項（公式と考え方）→ 例題（解説・解答）→ 類題（解答は巻末）

巻末

類題の解答 p.206〜／総合演習の解答 p.254〜／集中ゼミ・発展研究の解答 p.279〜

はじめにで著者は、編入試験は大学の微分積分と線形代数から主に出るものの、それだけを一通り学んでも合格は難しく、土台となる高校数学の素養が要ると書いています。とくに高専生は大学受験を経ていないため、数列の和や簡単な漸化式で手が止まる人が多い、という指摘です。

東京大学や大阪大学のような難関校では高校範囲から出る問題もあるため、上位校を狙う人ほど本書の役割は大きくなります。巻のところどころに「集中ゼミ」（2次関数の最大・最小、必要条件・十分条件、背理法など6本）と「発展研究」（ε-δ論法 p.18 など）、「ワンポイント解説」（空間ベクトルの外積 p.129、固有値・固有ベクトル p.148 など5本）が入っています。

例題には、考え方を述べる「解説」と「解答」が付き、必要な所に別解や、式の横の短い注意書きが入ります。数列の和では、一般項の形から和の求め方を4通り（専用の公式・Σの公式・分数式の和・S−rS法）に振り分ける表がまとめられていて（p.7）、編入の計算問題で何を使うかを選ぶ練習になります。

総合演習は5回あり、著者によると問題の多くは難関大学の編入試験や大学入試の二次試験から取られています。各ブロックを終えた時点の力試しに使えます。

編入数学入門が向く人・先に別の本を使う人

名古屋大学 工学部に合格したシュワちゃんさんは、本書を「学校でやらなかった単元や苦手な分野」を埋めるために使い、授業をしっかり受けている人なら要らないかもしれない、とも書いています。全員に必須の本ではなく、穴がある人のための本と考えるのが正確です。

編入数学入門が必要かを10項目で確かめる

本を買う前、または買ってすぐに、次の項目を本書の該当ページの例題で試してみてください。すべて自力で解けるなら、本書は飛ばして大学範囲の本へ進んでも困りません。2つ以上で手が止まるなら、高校範囲に穴があるので、本書を先に（または大学範囲の本と並行して）使います。

表は横にスクロールできます

ページは本書の印刷ページ。項目は、過去問で多くの大学・学部に出ていたテーマ（テーマの表）から、本書で1つの例題として練習できるものを選んだ。

分野ごとの読みどころ

数列（第1〜4章）

和の求め方の振り分け（p.7）、はさみうちの原理と無限等比級数（p.10〜16）、2項間から3項間・連立へ進む漸化式（p.20〜27）、漸化式と組み合わせた数学的帰納法（p.32）。高専生が最もつまずきやすいと著者が書いている分野で、行列を使う漸化式の問題の前提にもなる

関数・微分積分（第5〜10章）

三角関数の極限の公式（ワンポイント p.55）、置換積分と部分積分（p.70〜72）、定積分の計算（p.74〜76）、部分積分で作る積分の漸化式（p.77）、面積・体積・回転体・曲線の長さ（p.80〜84）。大学範囲の微積の計算問題で、途中の1変数の積分が解けないときに戻る場所

ベクトル・複素数（第11〜14章）

平面・空間ベクトルと1次独立（p.90・p.100）、組立除法（ワンポイント p.109）、極形式とド・モアブルの定理（p.114〜118）。複素数平面は高専で扱いが薄くなりやすく、図示や軌跡の問題を出す大学では差がつく

図形・行列（第15〜18章）

直線と平面の方程式（p.126）、外積（p.129）、2次曲線（p.134）、行列の要項と逆行列・ケーリー・ハミルトンの定理（p.142〜143）、固有値・固有ベクトルの入口（p.148）、行列のn乗（p.149〜150）、1次変換（p.152）。今の高校で習わない行列を、編入に必要な形で補える

確率・統計（第19〜22章）

集合と場合の数（p.160〜）、「同じものでも区別するのはなぜか」から説く確率の定義（p.172）、条件付確率と乗法定理（p.173）、期待値（p.182）、確率変数と確率分布（p.184〜187）、標本平均・推定・検定（p.192〜200）、総合演習⑤の確率の集中特訓（p.201）

自分の状況から読む場所を選ぶ

高専1〜3年生

第1章から順に全章。著者もこの学年には高校数学をじっくり学ぶことを勧めている。総合演習まで解く

高専4・5年生・大学1・2年生（試験まで1年前後）

志望校の表で重なるテーマの章を先に。残りの章は類題だけ解いて、解けない章を戻って読む

試験まで半年を切った

テーマの表の上位（確率・確率分布・漸化式）と、志望校で出た章だけに絞る

経済学部など文系で数学を課す学部

数学の範囲は学部ごとに違うので、志望校の過去問に出た単元の章から。神戸大学 経済学部の合格者も本書を使っている

確率・統計だけが不安

第19〜22章と総合演習⑤（確率の集中特訓）が1つのまとまり。確率と漸化式が絡む問題に備えるなら第3章も

全22章の地図と優先度

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頁は本書の印刷ページ（目次で確認）。◎＝そのテーマの出題が4件以上の大学・学部で見つかった章、○＝1〜3件、・＝今回の調べ方では数えていない章（出ないという意味ではない）。第5・6章の三角関数・指数対数は、どの問題でも計算の途中で使う土台なので、優先度にかかわらず苦手なら先に読みます。

総合演習5回の位置

総合演習①

数列・数列の極限（p.34）

総合演習②

関数・微分積分（p.88）

総合演習③

ベクトル・複素数（p.124）

総合演習④

図形の方程式・行列と1次変換（p.158）

総合演習⑤

確率の集中特訓（p.201）

過去問に出ていたテーマと本書のページ

1. 確率（場合の数・条件付確率）第19・20章9件
2. 確率分布（期待値・分散・確率密度）第21章9件
3. 漸化式（3項間・連立・行列で解く形）第3章6件
4. 複素数平面（極形式・ド・モアブル・図示）第14章5件
5. 行列のn乗・ケーリー・ハミルトン第17章4件
6. 空間ベクトルの外積第15章4件
7. 数列の極限・無限級数第2章4件
8. 積分の漸化式（部分積分）第9章3件
9. 曲線の長さ第10章2件
10. 回転体の体積第10章1件

2023・2024年の編入試験の数学を、大学・学部ごとにテーマで分けて数えた。医学部、物理など数学以外の科目、本書の範囲を超える設問（偏微分・ラプラス変換など）は除いた。別のテーマの中に組み込まれた形で出た設問は数えていないことがある。2025年以降の試験は、直近の試験の内容を載せない方針のため数えていない。

上のグラフは、本書が扱うテーマごとに、2023・2024年の数学の過去問でそのテーマの設問が見つかった大学・学部の数です。確率は場合の数・条件付確率の基本問題として、確率分布は期待値・分散や確率密度関数の計算として、工学部・情報系で広く出ていました。

漸化式は、数列の問題として単独で出るより、行列を使って一般項を求める形で出る大学が目立ちました（秋田大学 理工学部・高知大学 理工学部・岐阜大学 工学部など）。この形は第3章（3項間漸化式 p.25、連立漸化式 p.26）と第17章（行列のn乗 p.149〜150）をセットで読むと対応できます。

テーマごとの出方の型

確率

条件付確率・全確率の考え方（ベイズの定理）、二項分布、くじや玉の取り出しの場合の数。工学部・情報系で、条件付確率の型が目立った

確率分布

期待値と分散、確率密度関数の定数を決める計算、累積分布関数、共分散。高校範囲の第21章で入口を押さえ、大学の確率統計につなげる

漸化式

漸化式を行列やベクトルで表して一般項を求める形。2次なら本書の第3章と第17章、3次の行列や固有値を使う形は線形代数の本で

複素数平面

極形式、ド・モアブルの定理、複素数平面上の図示、z ↦ 1/z のような写像。高校で複素数平面を学んでいない人の穴になりやすい

外積

三角形・平行四辺形の面積、2つのベクトルに垂直なベクトル。計算の手順を知っていれば短時間で取れる型

数列の極限・積分

数列の極限と無限級数、区分求積、cosⁿx のような積分の漸化式、曲線の長さ・回転体の体積。どれも大学範囲の微積の問題の中で計算として出る

テーマの言い方は、設問の分野を本書の章立てに合わせてまとめたもの。設問の文や数値は載せていない。

テーマごとの本書のページ

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「まず読むページ」は本書（2021年金子書房版）の目次と本文で確かめた印刷ページ。確率 p.173 は条件付確率と乗法定理の要項、p.187 は確率分布の平均・分散の例題、p.117 はド・モアブルの定理の例題、p.77 は部分積分で積分の漸化式を作る例題、p.84 は曲線の長さの例題、p.83 は回転体の体積の例題です。「大学・学部」を押すと、出題が見つかった大学・学部と年が開きます。

志望校ごとに本書が効く章

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「重なり」は、上のテーマ表のうち、その大学・学部の2023・2024年の過去問で見つかったテーマの数です。ここに無い大学でも本書の範囲が出ないとは限りません。志望校の過去問を本書の章立てと見比べてください。

テーマが1つだけ見つかった大学・学部は、お茶の水女子大学 生活科学部、京都工芸繊維大学 工芸科学部、信州大学 工学部、信州大学 理学部、名古屋大学 情報学部、宮崎大学 工学部、広島大学 工学部、広島大学 情報科学部、東京農工大学 工学部、神戸大学 農学部、福井大学 工学部、茨城大学 工学部、金沢大学 理工学域、長岡技術科学大学 工学部、関西大学 環境都市工学部です。

どの大学でも、本書の範囲は数学の一部です。固有値・固有ベクトル、行列の対角化（3次以上）、偏微分、重積分、微分方程式といった大学範囲の設問が多くを占める大学がほとんどで、そこは次に使う本で補います。

1年分の試験で見る：本書で取れる範囲と補う範囲

上の表は「本書のテーマが出たかどうか」を数えたものでした。ここでは逆に、1つの大学・学部の1年分の数学を丸ごと並べ、本書で準備できるテーマと、別の本で補うテーマに分けます。対象は2024年の試験です。直近の試験の中身は載せない方針のため、それより新しい年は扱いません。

表は横にスクロールできます

テーマの数は、設問の論点をオンライン編入学院が本書の章立てに当てはめて数えたものです。配点の重さは反映していません。「一部だけ」は、本書にワンポイント解説はあるものの、例題と類題で練習するほどの分量は無いテーマです。

秋田大学 理工学部（2024年の試験）

本書で取れる

微分の計算（p.54）、定積分・部分積分（p.70）、2次方程式と解と係数（p.108）、整数の余りの分類（p.183）、行列のn乗（p.143）、3項間漸化式（p.20）

一部だけ

2次の行列の対角化（p.148・ワンポイント解説で触れる程度）

別の本で補う

目立つものは無い

微分・積分の計算、2次方程式、整数、行列のn乗と漸化式という組み合わせで、ほぼ全部が高校範囲です。本書の第7章・第9章・第13章・第17章と、集中ゼミの整数の余りの分類が、そのまま試験の準備になります。このタイプの大学を受けるなら、本書を一通り終えたあとに過去問へ進んでも遠回りになりません。

北海道大学 工学部（2024年の試験）

本書で取れる

球と平面の方程式（p.126）、回転・拡大の行列（p.152）、ベクトルの内積（p.90）、空間ベクトルの外積（p.129）、3次方程式の虚数解（p.108）

別の本で補う

偏微分、重積分、微分方程式

空間図形の方程式、回転や拡大を表す行列、内積と外積といった図形まわりが、本書の第11・12・15・18章で準備できます。一方で偏微分、重積分、微分方程式は大学の微分積分の内容で、本書には章がありません。図形の章で計算に慣れてから、大学範囲の本へ進むと時間を分けやすくなります。

三重大学 工学部（2024年の試験）

本書で取れる

微分の計算（p.54）、置換積分（p.70）、複素数平面の図示と写像（p.114）、ケーリー・ハミルトンと逆行列（p.143）、位置ベクトル（p.90）

別の本で補う

微分方程式、固有多項式、複素関数（コーシー・リーマン）

複素数平面の図示と写像、ケーリー・ハミルトンの定理を使った計算は、本書の第14章と第17章がそのまま当てはまります。微分方程式と、複素関数の微分の条件は大学の内容なので、本書の範囲の外です。高校範囲と大学範囲が同じ年に半分ずつ近く並ぶため、両方を同じ時期に回す計画が必要になります。

東京都立大学 システムデザイン学部（2024年の試験）

本書で取れる

確率密度・期待値・分散（p.184）、条件付確率（p.172）、空間ベクトルの外積（p.129）、不定積分（p.70）、回転体の体積（p.83）、三角関数の最大・最小（p.36）

別の本で補う

3次の行列式・逆行列、行列の対角化、グリーン・ストークスの定理、微分方程式

確率と確率分布、外積、回転体の体積など、本書の第10・15・20・21章が効くテーマが多い大学です。ただし3次の行列式と対角化、ベクトル解析の定理、微分方程式も同じ年に出ており、線形代数と微分積分の大学範囲は別に準備が要ります。

本書は確率と図形の得点源を固める役、大学範囲は別の本、という分け方が合います。

大阪大学 工学部（2024年の試験）

本書で取れる

曲線の長さ（媒介変数）（p.84）、媒介変数の微分（p.55）、条件付確率・全確率（p.172）、母平均の区間推定（p.193）

一部だけ

2次の行列の固有値・対角化（p.148・ワンポイント解説で触れる程度）

別の本で補う

二重積分とグリーンの定理、微分方程式、複素積分、母分散の区間推定（カイ二乗分布）

曲線の長さ、媒介変数で表された曲線の微分、条件付確率、母平均の区間推定は本書で準備できます。ただし重積分とグリーンの定理、微分方程式、複素積分、カイ二乗分布を使う推定は本書に無く、本書の範囲と大学範囲のテーマが同じくらい並ぶ年です。

本書は確率・統計と曲線の計算を固めるところまでにとどめ、早めに大学範囲の本へ移るのが現実的です。

志望校の1年分を自分で振り分ける手順

1. 論点を書き出す

志望校の過去問1年分について、小問ごとに「何の計算・何の定理か」を一言で書く。解かなくてよい

2. 目次と照らす

本書の目次（全22章・集中ゼミ6本）に当てはまるものに章番号を付ける。当てはまらないものは大学範囲として分ける

3. 割合を見る

章番号が付いた小問が半分を超えるなら本書を軸に、少ないなら苦手な章だけ本書で埋める

4. 2年分で確かめる

1年だけだと偏ることがあるので、もう1年分でも同じ作業をして割合が近いかを見る

解かずに論点を拾うだけなので、本書をどこまで使うかを早い時期に決められます。論点の名前が分からない小問は、大学範囲の本の目次と見比べると見当がつきます。どちらの目次にも無い場合は、志望校の過去問を扱った本や、オンライン編入学院のコーチに相談してください。

5つを並べると、本書の範囲が全体のどれくらいを占めるかは大学によって大きく違います。自分の志望校がどちらに近いかは、志望校の過去問1年分の論点を書き出し、本書の目次（全22章）と照らし合わせると分かります。本書の範囲が多い大学なら本書を軸に、少ない大学なら本書は弱い単元の穴埋めにとどめ、大学範囲の本に時間を回してください。

前後に使う参考書のルート

前に（必要な人だけ）

数学2・B+ベクトル基礎問題精講、数学3・C基礎問題精講。高校の教科書レベルが怪しい単元だけ

この本

編入数学入門。数列・微積・ベクトル・行列・確率の高校範囲を確かめ直す

次に

編入数学徹底研究。合格者の勉強の順番で、数学の最初の本として選ばれることがいちばん多い本

深める

編入の微分積分徹底研究・編入の線形代数徹底研究。志望校で多い分野だけ

仕上げ

編入数学過去問特訓と志望校の過去問。確率が手薄なら細野真宏の確率が本当によくわかる本

「次に」は、合格者の勉強の順番で編入数学徹底研究から数学を始める形がいちばん多いことによります。「前に」の基礎問題精講は、教科書レベルから見直したい人へのオンライン編入学院の提案で、本書を使った合格者の体験記に出てくる本ではありません。

編入数学入門を使った合格者の使い方

表は横にスクロールできます

学校でやらなかった単元や苦手な分野を一から理解するために使いました。真面目に授業を受けてる人なら要らないかもしれません。

シュワちゃんさんは数学の中心を編入数学徹底研究（3周）に置き、本書は1周。授業で扱わなかった単元を一から理解するための補助として使っています。確率は別に細野真宏の確率の本でも補っていました。

編入数学徹底研究と併用しながら問題を解いて分からないところを無くすまでやる

りょうさんは体験記で本書を「編入数学入門講座」と書いていますが、選んだ理由に著者の桜井先生を挙げています。周回は4周。経済学部の受験でも、編入数学徹底研究と経済数学の本と並べて、分からないところが無くなるまで使った例です。

2人とも、本書を単独で終わらせず、同じ著者の編入数学徹底研究を数学の中心に置いていました。本書の役割は、そこで手が止まる高校範囲の単元を埋めることです。ほかの合格者の勉強の流れは合格した先輩の声で読めます。

1周型と4周型、どちらに近づけるか

1周型が合う人

高専や大学の授業で高校範囲の多くを扱ってきた人。抜けている単元だけを本書で埋め、すぐ徹底研究へ戻る

4周型が合う人

数学から離れていた期間が長い人や、文系から数学のある学部を受ける人。類題を自力で解けるまで本書を回し、徹底研究と同じ時期に並べる

どちらの型でも、本書に時間をかけすぎて大学範囲の準備が遅れると本末転倒です。類題の印が減ってきたら、本書の周回は止めて徹底研究と過去問に比重を移してください。

編入数学入門の進め方（周回と時期の目安）

1周目

章の初めの要項を読み、例題は解答を見る前に自分で手を動かす。類題は解いて、解けなかったものに印を付ける

2周目

例題と類題を、解説を閉じて最初から解き直す。各ブロックの終わりの総合演習もこの周で解く

3周目以降

印の付いた問題だけ。りょうさんのように分からないところが無くなるまで回す人もいる

時期は、大学範囲の本に入る前か、並行して始めるのが合います。シュワちゃんさんは徹底研究と並べて苦手単元に使い、りょうさんは数学を始めて数か月の時期に徹底研究と同時に進めていました。

1周にかかる時間は、合格体験記に書かれていないため、この記事では目安を出していません。全22章を通すか、必要な章だけに絞るかで大きく変わります。試験が近い人は、全部を読まずに類題だけ先に解き、解けた章は飛ばして構いません。

周回のあいだは、問題ごとに「自力で解けた」「解説を見て分かった」「分からない」の3段階で印を付けておくと、次の周で解く問題がすぐ決まります。章ごとに印の数を数えておけば、どの分野が弱いかも見えるので、大学範囲の本でどの単元に時間をかけるかを決める材料にもなります。

注意点：本書で足りない範囲

行列

第17・18章は2次の正方行列が中心。ケーリー・ハミルトンの定理と逆行列の公式も2次の場合で、一般のn次は複雑になると本書自身が断っている

固有値・対角化

第17章の要項（p.143）とワンポイント解説（p.148）で考え方に触れる程度。3次以上の行列は線形代数の本で練習する

大学の微積分

偏微分・重積分・広義積分・微分方程式は扱わない。編入の微分積分徹底研究などで学ぶ

統計

第22章は高校範囲の推定と仮説の検定（p.194）まで。大学の確率統計の授業で扱う分布や検定が出る大学は、確率統計の本を足す

逆に言えば、本書だけで編入数学が仕上がることはありません。高校範囲の穴を見つけて埋めるところまでが本書の役割で、得点の大部分は大学範囲の本と過去問で作ります。

関連する参考書レビュー

動画で見る高専からの編入合格者の数学の参考書

高専から九州大学 芸術工学部に編入した合格者が、勉強の進め方と数学の参考書の選び方を話している動画です。編入数学徹底研究・編入数学過去問特訓をどう使ったかが分かります。

高専から九州大学に編入！合格者の勉強方法、参考書の選び方など色々聞いてみた！【芸術工学部 音響設計学科】

オンライン編入学院の合格実績

大学ごとの合格者は合格者速報で確かめられます。数学は、志望校の過去問の範囲を本書のような高校範囲の本と大学範囲の本に振り分け、どこから手を付けるかを一緒に決めています。

よくある質問

編入数学入門だけで編入試験の数学は足りますか？

足りません。本書は高校範囲の本で、編入試験の中心になる偏微分・重積分・微分方程式や、3次以上の行列の固有値・対角化は扱っていません。本書を使った合格者は、どちらも編入数学徹底研究と組み合わせていました。本書は穴埋め、得点源は大学範囲の本と過去問、と分けて考えてください。

編入数学徹底研究とどちらを先にやればいいですか？

高校範囲に不安があるなら本書を先に、または同時に進めます。数列の和・漸化式・確率で手が止まらないなら、編入数学徹底研究から始め、つまずいた単元だけ本書に戻る使い方で十分です。

何周すればいいですか？

使った合格者は1周（名古屋大学 工学部）と4周（神戸大学 経済学部）でした。目的で変わり、苦手単元を埋めるだけなら該当章を1周、全体の土台を作るなら類題を自力で解けるまで2〜3周が目安です。

文系の学部（経済学部など）の編入でも使えますか？

使えます。神戸大学 経済学部の合格者も本書を4周しています。学部によって数学の範囲が違うので、志望校の過去問に出た単元を本書の目次と見比べ、重なる章から読むと効率的です。

行列は今の高校では習いませんが、本書の第17・18章は必要ですか？

編入では行列の計算や行列のn乗、行列を使った漸化式の問題が出ます。本書は旧課程の行列を含めて扱っているので、高校で行列を習っていない大学生には特に役立つ章です。

解答はどこに載っていますか？

例題は本文に解答があり、類題の解答は p.206 から、総合演習の解答は p.254 から、集中ゼミ・発展研究の練習問題の解答は p.279 からまとめて載っています。

試験まで3か月ほどしかありません。本書から始めるべきですか？

全22章を通す時間はないので、類題だけを章ごとに数問解き、手が止まった章だけ要項と例題に戻ります。あわせて志望校の過去問を1年分見て、本書の範囲に入る論点がどれだけあるかを先に確かめてください。範囲が少ない大学なら、本書は最小限にして大学範囲の本と過去問に時間を回します。

高専生と大学生で、使い方は変わりますか？

高専生は大学受験を経ていないため、数列の和・漸化式・確率など高校範囲の単元に抜けがある人が多く、本書を全体の土台として通す価値があります。大学生は高校で学んだ内容の確認が中心になるので、類題で抜けを探し、行列（第17・18章）のように高校で習っていない単元を重点的に読む使い方が合います。

古い本ですが、今の編入試験に合っていますか？

2013年に出た本を2021年に金子書房が復刊したものです。扱う高校範囲の内容は大きく変わらず、この記事で見たように2023・2024年の過去問でも本書のテーマは出ています。新しい出題の傾向は、志望校の過去問で確かめてください。