新微分積分I

書名

新微分積分I

著作者

高遠節夫 ほか5名

出版社

大日本図書

この記事の版

2012年11月 初版（ページは2014年12月発行の版で確かめた）

構成

4章8節・本文 p.1〜144・解答 p.146〜

数字で見る新微分積分I

構成

4章

8節。節ごとに練習問題A・Bがある

数えた大学・学部

31校

2021〜2024年の編入試験の数学（線形代数も出す学校）

本書の範囲の設問

17%

数学の設問のうち本書で練習できる分野の割合（学校ごとの中央値）。IIと合わせると45%

最も多くの学校に出たテーマ

22校

部分積分（3章2節）を使う設問が出た大学・学部の数

出典: 本書（2012年11月初版・2014年12月発行の版）の目次と本文。2021〜2024年の編入試験の数学を、オンライン編入学院が設問ごとに分野・テーマへ分けて数えたもの。

新微分積分Iが向く人・向かない人

向く人

高専で本書を使っていた人

授業で使った教科書なら、書き込みや印がそのまま復習の手がかりになります。初めての本で一から始めるより、計算の手順を短い時間で取り戻せます。

積分の計算で手が止まる人

置換積分と部分積分は3章2節（p.97〜）に例題つきでまとまっています。部分積分を使う設問は22の大学・学部で出ていて、編入の微積で最も多くの学校に出た計算です。

高校で数学IIIを学んでいない人

1章は関数の性質と極限から始まり、導関数の定義、三角関数と指数関数の微分へと順に進みます。数学IIIの微分と積分を、この1冊で通して学べます。

先に別の本を選ぶ人

偏微分・重積分を先に固めたい人

本書は1変数だけの本で、偏微分・重積分・微分方程式・マクローリン展開は入っていません。2変数の範囲は続編の新微分積分IIで学びます。

入試の形の問題をすぐ解きたい人

本書の問と練習問題は本文の確認が中心です。1変数の計算はもう迷わない人は、編入数学徹底研究などの問題集から始めるほうが早く進みます。

解説を読み込んで独学したい人

定義と例題はていねいですが、説明は短めで、巻末の解答も答えが中心です。1人で読み進めて詰まりやすい人は、講義の口調で説明が長い本と並べます。

本の中身｜4章8節と練習問題

1. 1章 微分法44ページ
2. 2章 微分の応用33ページ
3. 3章 積分法37ページ
4. 4章 積分の応用30ページ

出典: 本書（2014年12月発行の版）の目次。各章の始まりから、その章の最後の練習問題のページまでを数えた。

本書は、まえがきによると、微分法と積分法の基礎を一通り学ぶための教科書です。各節は定義や公式、例、例題、問の順に進み、問のすぐ前に同じ形の例題がある作りです。

節の終わりの練習問題は、Aが本文の確認、Bが少し発展した問題です。巻末には問と練習問題の解答（p.146〜）、用語の索引（p.159〜）、公式をまとめた付録があります。見直しのときは、索引から用語のページへ戻ると早く引けます。

本書（2014年12月発行の版）の目次と本文より。始まりはその節の最初のページ。主な項目のページは本文と索引で確かめたもの。

章ごとの読みどころ

1章 微分法

関数の極限、導関数、三角関数・指数関数・対数関数の微分、合成関数、逆三角関数、関数の連続。逆三角関数は12校で出ていて、値の求め方と微分の両方が問われます。

2章 微分の応用

接線、増減と極値、最大・最小、ロピタルの定理（1節）と、高次導関数とライプニッツの公式、凹凸、媒介変数、速度、平均値の定理（2節）。ロピタルの定理は7校、媒介変数表示は6校で出ていました。

3章 積分法

不定積分、定積分の定義と微分積分の基本定理（1節）、置換積分・部分積分・分数関数などの積分（2節）。部分積分は22校で出た、本書でいちばん大事な範囲です。

4章 積分の応用

面積・曲線の長さ・体積・回転体（1節）と、媒介変数や極座標で表した図形、広義積分（2節）。広義積分は、31校のうち13校で出ていました。

IとIIの範囲の違いと使い分け

本書の目次と、新微分積分IIのまえがき（関数の展開・偏微分・重積分・微分方程式の4章）より。「—」はIIで新しく扱わない分野。

同じシリーズのIとIIは、1冊目で1変数、2冊目で多変数と微分方程式を学ぶ分け方です。編入試験の微分積分は、IとIIの両方の範囲から出ます。本書だけで微積の対策が終わるわけではありません。

1. 新微分積分Iの範囲1変数の微分・積分・極限・広義積分17%
2. 新微分積分IIの範囲展開・偏微分・重積分・微分方程式25%
3. 線形代数行列・行列式・固有値など42%
4. そのほか確率・統計・複素関数など16%

出典: 2021〜2024年の編入試験の数学を、オンライン編入学院が31の大学・学部について設問ごとに分野へ分けて数えたもの。線形代数はテーマごとに数えたため、1つの設問が2つのテーマに入ることがある。四捨五入のため合計は100%にならないことがある。

31の大学・学部の2021〜2024年の数学を分野ごとに数えると、本書（I）の範囲は全体の17%、IIの範囲は25%、線形代数は42%でした。学校ごとに見ても、本書の範囲は中央値で17%、IIを足すと45%です。

ただし、Iの範囲が小さいのは「Iの計算が出ない」という意味ではありません。IIの偏微分・重積分・微分方程式の設問は、どれも途中でIの微分と積分の計算を使います。Iの計算が止まると、IIの範囲の問題も解き切れません。Iを先に固め、IIへ進む順番が大切です。

IIの範囲の詳しい使い方は、新微分積分IIのレビューにまとめています。

編入試験でよく出たテーマと本書の場所

2021〜2024年の編入試験の数学の設問を、本書で扱うテーマの名前で探し、各テーマが何校で出たかを数えました。棒の下には、そのテーマを学べる本書の節とページを書いています。各テーマが出た学校は、表の下で開いて見られます。

1. 部分積分3章2節 2・2・p.10022校
2. 逆三角関数1章2節 2・3・p.3412校
3. ロピタルの定理2章1節 1・5・p.557校
4. 媒介変数表示2章2節 2・3・4章2節 2・1・p.66・p.1276校
5. n次導関数2章2節 2・1・p.61〜624校
6. 増減表とグラフ2章1節・2章2節 2・2・p.47〜・p.634校
7. 曲線の長さ4章1節 1・2・p.1193校
8. 回転体の体積4章1節 1・3・p.1232校

出典: 2021〜2024年の編入試験の数学の設問を、オンライン編入学院がテーマの名前で探し、大学・学部の単位で数えたもの。医学部と物理の設問、2変数の設問は除いた。名前の違う言い方で出た設問は数に入っていないことがある。

上の2テーマ（部分積分・逆三角関数）は、それだけを聞く設問より、定積分や極限を求める途中で使う道具として効いてきます。部分積分が止まると定積分も広義積分も最後まで計算できず、逆三角関数の微分を忘れると、置換積分の答えの形が分からなくなります。

増減表とグラフ、曲線の長さ、回転体の体積は、出た学校は少なめですが、公式と手順を覚えれば点になる問題です。工学部の問題で、面積や体積を求める大問の一部として出ていました。

全テーマと本書の場所

本書の場所は2014年12月発行の版の章・節・項とページ。出た学校は、そのテーマを使う設問が2021〜2024年に1回でも出た大学・学部の数。

分野で見る｜IとIIのどちらが出るか

1. 偏微分続編（II）23校
2. 重積分続編（II）22校
3. 1変数の積分本書（I）20校
4. 1変数の微分本書（I）17校
5. 関数の極限本書（I）16校
6. 微分方程式続編（II）16校
7. 広義積分本書（I）13校
8. テイラー展開続編（II）10校
9. 級数続編（II）4校

出典: 上の割合と同じ数え方。「1変数の微分」は導関数・増減・極値・逆三角関数など、「1変数の積分」は不定積分・定積分・面積など。線形代数は31校すべてで出ている。

本書の範囲で多かったのは1変数の積分で、20校で出ていました。1変数の微分は17校、関数の極限は16校です。一方でIIの範囲の偏微分は23校、重積分は22校、微分方程式は16校で出ていました。

31校のうち5校は、2021〜2024年に本書の範囲の分野が出ていませんでした（北海道大学 工学部、宮崎大学 工学部、東京都立大学 システムデザイン学部、神戸大学 工学部、茨城大学 工学部）。こうした学校を受ける人は、本書を何周もするより、IIと線形代数の本に時間を回すほうが点に結びつきます。

志望校別に見るIとIIの割合

系統で選ぶ: 工学部・工学系／理学部・基礎工学部・理工学群など／情報系・経済学部

工学部・工学系

理学部・基礎工学部・理工学群など

情報系・経済学部

2021〜2024年の編入試験の数学を学校ごとに数えたもの。割合は、その学校の数学の設問のうち、各範囲の分野に入る設問の割合（確率・統計・複素関数などは表に出していないため、横に足しても100%にならない）。学校名を開くと、本書の範囲とIIの範囲で出た分野と年（西暦の下2けた）が見られる。学校名を押すと、編入総研のその学校の記事が開く。

表は本書（I）の範囲が多い学校から並べています。志望校の行で「Iの範囲」と「IIの範囲」を見比べ、時間の配分を決めるのが使い方です。Iの割合が大きい学校ほど、本書を丁寧に仕上げる意味があります。

工学部では、三重大学 工学部が1変数の微分と積分を3年とも出していて、本書の範囲は40%でした。信州大学 工学部も38%です。反対に、神戸大学 工学部と東京農工大学 工学部は、偏微分・重積分が中心で、本書の範囲は0%・3%にとどまります。

理学部では、お茶の水女子大学 理学部が広義積分を4年とも出していました。神戸大学 理学部は重積分が4年続き、IIの範囲が44%です。経済学部では、神戸大学 経済学部が1変数の微分を4年とも出していて、本書の範囲は35%でした。

解く順番の決め方

決め方は、2021〜2024年の出題テーマの集計による。導関数と不定積分・定積分の基本の計算は、テーマの数に入れずに「まず固める」に含めた。

まず固める

部分積分（3章2節 2・2）、逆三角関数（1章2節 2・3）。どちらも積分や微分の計算の途中で使う道具なので、これが止まると他の問題も解けません。導関数と不定積分・定積分の基本の計算もここに入れます。

2周目で仕上げる

ロピタルの定理（2章1節 1・5）、媒介変数表示（2章2節 2・3・4章2節 2・1）、n次導関数（2章2節 2・1）、増減表とグラフ（2章1節・2章2節 2・2）。出る学校は限られますが、極限・グラフ・高い次数の微分の問題として形を変えて出ます。

志望校で出れば

曲線の長さ（4章1節 1・2）、回転体の体積（4章1節 1・3）。公式を覚えれば点になるテーマです。志望校の過去問で出ているときに、4章1節で練習します。

本書は1章から順に進む作りで、順番どおりに読めば無理なく進みます。高校で数学IIIを学んだ人は、1章2節と3章を先に2周すると、計算で点が取れる状態を早く作れます。2章と4章は、志望校で出ている問題の形に合わせて戻ります。

ただし、志望校が決まっている人は、上の段階より志望校別の表を優先してください。本書の範囲が少ない学校なら、まず固める範囲だけを仕上げて、IIへ早めに進みます。

前後に使う本

前の本は特に要りません。本書は関数の性質と極限から始まるので、高校で数学IIIを学んでいれば、そのまま1章に入れます。三角関数・指数・対数の計算に不安がある人は、高校の教科書で公式を確かめてから入ると進めやすくなります。

合格者の勉強の順番では、本書とIIのあとに編入数学徹底研究へ進む形が見られました。香川大学 創造工学部のTさんも、IとIIを読んだあと、編入数学徹底研究の例題と類題に移っています。

微積を得点源にしたい人は、編入の微分積分徹底研究で難しめの問題を足し、仕上げに編入数学過去問特訓や志望校の過去問で入試の形と時間に慣れます。2変数の範囲は、本書と同じシリーズの新微分積分IIで学びます。

表紙を押すと、編入総研の参考書レビューが開く。数学の参考書の順番は編入数学の参考書ルートにまとめている。

いつ始めるか

Tさんは5月の試験に向けて、2月に20時間、3月に50時間を新微分積分I・IIに充てています。4月には編入数学徹底研究に移り、5月は過去問にも時間を割きました。試験の2か月前には教科書を終えて問題集へ移る流れです。

微分積分を初めて学ぶ人や、授業で習ってから時間がたっている人は、試験の6か月前ごろに1周目を始めると、IIと問題集に十分な時間が取れます。授業で本書を一通り終えている人は、まず固める範囲だけを、試験の4か月前から短い期間で仕上げられます。

試験の直前期は、新しい節を読むより、一度間違えた問と練習問題をもう一度解く使い方が向いています。1周目から印を付けておくと、この時期の見直しが短い時間で済みます。

合格者の使い方

ダッチャーさんは公開中の合格体験記の教材欄、Tさんは公開中の合格者インタビュー動画と、Tさんが立てた月ごとの勉強の計画より。

ダッチャーさん｜教科書を4周して土台を厚く

教科書は暗記してしまうレベルで学習．証明も自分でできるように．

ダッチャーさん（2026年度入学）は高専から東京大学 工学部 電子情報工学科に合格しました。高専で指定された本書を4周、続編のIIを3周し、その上に編入数学徹底研究（4周）や大学編入のための数学問題集（2周）を重ねています。

ダッチャーさんのやり方で大事なのは、教科書を「解ける」だけでなく「説明できる」まで仕上げたことです。証明まで自分で書けるようにしておくと、問題集で初めて見る形の問題でも、どの定理を使えばよいかを自分で判断できます。

Tさん｜IとIIを並べて読み、問題集へ

Tさんが立てた月ごとの勉強の計画のうち、微分積分の欄より。時間はIとIIを合わせたもの。試験までの期間は、5月の試験から数えたおおよその目安。

Tさん（2026年度入学）は、2月から新微分積分Iと新線形代数を教科書として読み始め、証明の意味を理解しながら進めました。計画では、練習問題Bと微分方程式は後回しにして、まず教科書を最後まで読むことを優先しています。

4月からは編入数学徹底研究の例題と類題に移り、後回しにした微分方程式と練習問題Bは、問題集と過去問で必要になった所から埋めていく考え方です。教科書で全体を一度通し、問題集で入試の形に慣れ、足りない所を後から埋める順番です。

3周の進め方

1周目｜例題と問を順に

1周目は、節の初めから枠囲みの公式を読み、例と例題で手順を確かめ、すぐ後の問を自分で解きます。巻末（p.146〜）の解答で答えを確かめ、解けなかった問に印を付けます。

証明は、最初から全部を自分で書けるようにする必要はありません。なぜその手順で答えが出るのかが分かれば十分です。東京大学など証明を問う学校を受ける人は、2周目以降でダッチャーさんのように証明まで仕上げます。

2周目｜練習問題Aを例題を見ずに

2周目は、各節の練習問題Aを例題を見ずに解きます。逆三角関数（1章2節）、ロピタルの定理（2章1節）、置換積分と部分積分（3章2節）は、多くの学校で出た範囲です。この3つは途中の計算で迷わなくなるまで繰り返します。

3周目｜印の問題と練習問題B

3周目は、1・2周目に印を付けた問と、練習問題Bに絞ります。Bは文字を含む計算や証明を求める問題もあり、入試の形に近づきます。この段階でIIと問題集を並行して進め、本書の解き方が通用するかを確かめます。

1日の時間の目安

Tさんが新微分積分I・IIに充てた70時間を、1日に充てる時間で割って切り上げたもの。1か月の合計は30日で数えたもの。人によって必要な時間は違う。

1日2時間なら35日、1日3時間なら24日で、Tさんと同じ時間に届きます。線形代数と並べて進めるなら、平日は本書を1時間、休日に2〜3時間という組み合わせにすると、2つの科目を無理なく続けられます。

注意点

IIと必ず組み合わせる

偏微分・重積分・微分方程式・マクローリン展開は本書にありません。志望校の過去問でこの範囲が出ているかを確かめ、IIか別の本で補います。

問題集と必ず組み合わせる

本書の問と練習問題は本文の確認が中心で、入試の形の問題を数多く解く本ではありません。本書で手順をつかんだら、問題集で問題の量を補います。

解答は答えが中心

巻末の解答は答えと短い方針が中心で、途中の式はほとんど載っていません。詰まったら、同じ節の例題に戻って手順を見比べます。

版とページを確かめる

この記事のページは2012年11月初版の本（2014年12月発行の版）のものです。お持ちの本の発行年が違うときは、ページがずれることがあるので、節の名前で目次を引いてください。

本書を終えても過去問で手が止まる学校では、本書を何周もするより、志望校の過去問を解いて足りない範囲を見つけるほうが早く伸びます。本書は微分積分の計算の土台と考え、その上にIIと志望校に合わせた問題演習を積みます。

よくある質問

動画で見る、香川大学 創造工学部の合格者の勉強法

本書とIIを教科書として使い、問題集・過去問へと進めた香川大学 創造工学部の合格者が、月ごとの勉強の順番と使った本を話している動画です。動画の中の試験制度は当時のものなので、出願の条件は大学の最新の要項で確かめてください。

オンライン編入学院の合格実績

大学ごとの合格者は合格者速報で確かめられます。数学の対策では、志望校の過去問で出た分野に合わせて、教科書・問題集・過去問の順番と時間の配分を決め、一人ひとりの学習計画を作っています。

まとめ

『新微分積分I』は、微分法・微分の応用・積分法・積分の応用の4章8節で、1変数の微分積分を一通り学べる教科書です。編入の過去問で多くの学校に出た部分積分・逆三角関数・ロピタルの定理は、すべて本書の範囲に入っています。

一方で、編入の微積の半分以上は偏微分・重積分・微分方程式など、続編のIIの範囲から出ます。本書で1変数の計算を固め、IIを並べて進め、問題集と志望校の過去問で入試の形に慣れる。この順番で進めると、編入の微分積分の土台を試験までに固められます。

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